Sistéma numérico

En matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema.

Definición

Un conjunto S es un sistema numérico si en él están definidas dos operaciones binarias asociativas y conmutativas, denominadas adición y multiplicación, y si además se cumple que la multiplicación es distributiva con respecto a la adición. Para a, b y c elementos de S:

Propiedad asociativa de la adición: (a + b) + c = a + (b + c)

Propiedad conmutativa de la adición: a + b = b + a

Propiedad asociativa de la multiplicación: (a.b).c = a.(b.c)

Propiedad conmutativa de la multiplicación: a.b = b.a

Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición: a.(b + c) = a.b + a.c

La adición y la multiplicación no necesariamente deben ser las de la aritmética elemental.

Es una práctica didáctica que los maestros utilicen objetos como manzanas o naranjas y la noción de conjunto para enseñar a sumar. Esta práctica podrá ser útil a la hora de enseñar, pero descansa en ideas no demasiado meditadas. Para las consideraciones que siguen utilizaremos la convención de asimilar la suma a la unión de conjuntos y el producto a la intersección, como en el título anterior:

* La unión de conjuntos es asimilable a la suma ordinaria solamente si los conjuntos son disjuntos:

En una primera aproximación tenemos que dos conjuntos que tengan tres y cuatro elementos, respectivamente, y que no contengan elementos comunes, darán por unión un conjunto de siete elementos, conforme a la intención del docente para lo que desea lograr en el alumno. Pero si esos conjuntos tuvieran dos elementos comunes la unión daría por resultado un conjunto de tres elementos.


* Se ve afectado el papel del elemento identidad para la adición o elemento nulo de la suma.

Podríamos asimilar al conjunto vacío como el elemento identidad para la suma, ya que: 0 U A = A U 0; pero también A U A = A y si B c A tenemos el mismo resultado, con lo que cada conjunto y todos los conjuntos incluidos en él lo dejan idéntico con respecto a la unión. Pero el conjunto vacío es el único que lo hace con todos los conjuntos.


* La intersección es más chocante en cuanto a su paralelismo con el producto.

La intersección de dos conjuntos disjuntos distintos del conjunto vacío darán por resultado el conjunto vacío. Esto equivale a decir que en el sistema numérico que forman los conjuntos hay divisores de cero. La intersección de conjuntos con elementos comunes dejará un conjunto con menos elementos que el menor de ellos. A lo sumo igual al menor de ellos, si está incluido dentro del conjunto mayor.


* La unidad o elemento identidad para la multiplicación.

Si adoptamos el uso intuitivo o hasta la formulación formal de los conjuntos, el sistema carecerá de unidad, puesto que no habrá ningún conjunto cuya intersección con otro cualquiera deje a ese idéntico. En el caso que se definiera un conjunto universal, referencial o de referencia, éste sería la unidad. Al estar cualquier conjunto definido a partir de él, la intersección de cualquier conjunto con el de referencia daría por resultado el conjunto menor. Pero esta unidad es un poco diferente de la idea intuitiva que se tiene a partir de la aritmética.